Question

【题目】设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8在x=1及x=2时取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求曲线f（x）在x=0处的切线方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c，

∴f′（x）=6x2+6ax+3b，

∵函数f（x）在x=1及x=2取得极值，∴f′（1）=0，f′（2）=0．

即 ，

解得a=﹣3，b=4；

（2）解：由（1）得f（x）=2x3﹣9x2+12x+8，f′（x）=6x2﹣18x+12，

∴f（0）=0，f′（0）=12．∴切线的斜率k=12．切点为（0，8）

由直线方程的点斜式得切线方程为：y﹣8=12x，即12x﹣y+8=0

【解析】（1）由已知得f′（x）=6x2+6ax+3b，函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8在x=1及x=2时取得极值，可得 ，由此能求出a，b的值．（2）确定切线的斜率，切点坐标，即可求曲线f（x）在x=0处的切线方程．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用基本求导法则和函数的极值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．