Question

【题目】设关于x的不等式|x﹣2|＜a（a∈R）的解集为A，且 ∈A，﹣ A．
（1）对任意的x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立，且a∈N，求a的值．
（2）若a+b=1，a，b∈R+ ， 求 + 的最小值，并指出取得最小值时a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：关于x的不等式|x﹣2|＜a（a∈R）的解集为A，且 ∈A，﹣ A，

则a＞| ﹣2|且a≤|﹣ ﹣2|，即有 ＜a≤ ，①

x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥|（x﹣1）﹣（x﹣3）|=2，即有

|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为2，

x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立，即有

a2+a≤2，解得﹣2≤a≤1，②

由①②可得 ＜a≤1，

由a∈N，则a=1

（2）解：若a+b=1，a＞0，b＞0，

则 + = + = +（ + ）

≥ +2 = ，

当且仅当 = ，即a= ∈（ ， ]，b= 时，

取得最小值，且为

【解析】（1）由 ∈A，﹣ A可得 ＜a≤ ，再由绝对值不等式的性质可得|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为2，结合恒成立思想，可得a2+a≤2，解出不等式，求交集，再由a∈N，即可得到a；（2）由条件可得 + = + ，运用基本不等式求出最小值，同时求出取等号的a的值．
【考点精析】通过灵活运用基本不等式在最值问题中的应用和绝对值不等式的解法，掌握用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”；含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号即可以解答此题．