Question

【题目】如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF 2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC=2．

（1）当GB=GF时，求证：EG∥平面ABC；
（2）求二面角E﹣BF﹣A的余弦值；
（3）是否存在点G满足BF⊥平面AEG？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AB中点D，连接GD，CD，

又GB=GF，所以 ．

因为 ，所以 ，四边形GDCE是平行四边形，

所以CD∥EG

因为EG平面ABC，CD平面ABC

所以EG∥平面ABC．

（2）解：因为平面ABC⊥平面ACEF，平面ABC∩平面ACEF=AC，

且AF⊥AC，所以AF⊥平面ABC，

所以AF⊥AB，AF⊥BC

因为BC⊥AB，所以BC⊥平面ABF．

如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz．

则F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1）， 是平面ABF的一个法向量．

设平面BEF的法向量n=（x，y，z），则 ，即

令y=1，则z=﹣2，x=﹣2，所以n=（﹣2，1，﹣2），所以 ，

由题知二面角E﹣BF﹣A为钝角，所以二面角E﹣BF﹣A的余弦值为 ．

（3）解：因为 ，所以BF与AE不垂直，

所以不存在点G满足BF⊥平面AEG．

【解析】（1）当GB=GF时，根据线面平行的判定定理即可证明EG∥平面ABC；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角E﹣BF﹣A的余弦值；（3）根据线面垂直的判定定理和性质定理，建立条件关系即可得到结论．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．