题目内容
1．已知实系数三次函数φ（x）=ax3+bx2+cx+d有三个正零点，且φ（0）＜0．求证：2b3+9a2d-7abc≤0．分析 设三个正根为x1，x2，x3；从而可得a＞0，b=-a（x1+x2+x3），c=a（x1x2+x3x2+x1x3），d=-ax1x2x3，从而利用分析法证明即可．
解答 证明：设三个正根为x1，x2，x3；
则φ（x）=ax3+bx2+cx+d
=a（x-x1）（x-x2）（x-x3）
=a（x3-（x1+x2+x3）x2+（x1x2+x3x2+x1x3）x-x1x2x3），
∵φ（0）＜0，∴a＞0；
b=-a（x1+x2+x3），c=a（x1x2+x3x2+x1x3），d=-ax1x2x3，
要证2b3+9a2d-7abc≤0，
只要证-2a3（x1+x2+x3）-9a3x1x2x3+7a3（x1+x2+x3）（x1x2+x3x2+x1x3）≤0，
只要证-2（x1+x2+x3）-9x1x2x3+7（x1+x2+x3）（x1x2+x3x2+x1x3）≤0，
只要证-2（x1+x2+x3）+7（x1+x2+x3）（x1x2+x3x2+x1x3）≤9x1x2x3，
只要证2x13+2x23+2x33≥x1x22+x3x22+x12x2+x32x2+x12x3+x1x32，
∵x13+x23-x1x22-x12x2=（x1-x2）2（x1+x2）≥0，
∴x13+x23≥x1x22+x12x2，
同理可得，x13+x33≥x1x32+x12x3，
x23+x33≥x2x32+x22x3，
∴2x13+2x23+2x33≥x1x22+x3x22+x12x2+x32x2+x12x3+x1x32，
∴原不等式成立．
点评 本题考查了根与系数的关系应用及分析法的应用．
练习册系列答案
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9．若集合P={x|-1≤x＜5}，Q={x|x≥1}，则P∩Q等于（ ）
| A． | {x|-1≤x＜5} | B． | {x|1＜x＜5} | C． | {x|1≤x＜5} | D． | {x|-1≤x≤1} |
6．复数${m^2}-2m+\frac{{{m^2}+m-6}}{m}i$为纯虚数，则实数m的值为（ ）
| A． | m≠2且m≠3 | B． | m≠2，m≠3且m≠0 | C． | m=3 | D． | 不存在 |
项和为45，前
项和为60，则前
项和为（ ）