Question

8．已知数列{a_n}的前n项和s_n=n²-n，正项等比数列{b_n}中，b₁+b₂=8，b₃+b₄=$\frac{8}{9}$
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n+1，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）数列{a_n}的前n项和s_n=n²-n，当n=1时，a₁=s₁；当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1．可得a_n．利用等比数列的通项公式可得b_n．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）数列{a_n}的前n项和s_n=n²-n，当n=1时，a₁=s₁=0；当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=（n²-n）-[（n-1）²-（n-1）]=2n-2．
当n=1时上式也成立，∴a_n=2n-2．
设正项等比数列{b_n}的公比为q，∵b₁+b₂=8，b₃+b₄=$\frac{8}{9}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}（1+q）=8}\\{{b}_{1}（{q}^{2}+{q}^{3}）=\frac{8}{9}}\end{array}\right.$，解得b₁=6，q=$\frac{1}{3}$．
∴b_n=$6×（\frac{1}{3}）^{n-1}$=2×3^2-n．
（2）c_n=a_n•b_n+1=（2n-2）•2×3^1-n=$12（n-1）×（\frac{1}{3}）^{n}$．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=12$[0+（\frac{1}{3}）^{2}+2×（\frac{1}{3}）^{3}$+…+$（n-1）×（\frac{1}{3}）^{n}]$，
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=12$[（\frac{1}{3}）^{3}+2×（\frac{1}{3}）^{4}$…+$（n-2）×（\frac{1}{3}）^{n}+（n-1）×（\frac{1}{3}）^{n+1}]$，
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=12$[（\frac{1}{3}）^{2}+（\frac{1}{3}）^{3}$+…+$（\frac{1}{3}）^{n}$-$（n-1）×（\frac{1}{3}）^{n+1}]$=12$[\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$（n-1）×（\frac{1}{3}）^{n+1}]$=$2-\frac{4n+2}{{3}^{n}}$，
∴T_n=3-$\frac{2n+1}{{3}^{n-1}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．