Question

12．已知$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$均为非零向量，$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|=2，点M是线段BC（含两端点）上的一点，且$\overrightarrow{AM}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=1，则|$\overrightarrow{AM}$|的取值范围是A={x|$\frac{1}{8}$≤x≤1}的充分不必要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”，“既不充分也不必要”四者之一）．

Answer 1

分析 解如图所示，由$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$均为非零向量，$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|=2，可得AB⊥AC，BC=2．设P是BC的中点，则$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AP}$．AP=$\frac{1}{2}BC$=1．设$＜\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AP}＞$=θ．由于$\overrightarrow{AM}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=1，可得$|\overrightarrow{AM}|cosθ$=$\frac{1}{2}$，即可得出．

解答 解：如图所示，
∵$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$均为非零向量，$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|=2，
∴AB⊥AC，BC=2．
设P是BC的中点，则$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AP}$．
AP=$\frac{1}{2}BC$=1．
$＜\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AP}＞$=θ．
∵$\overrightarrow{AM}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=1，
∴$|\overrightarrow{AM}|cosθ$=$\frac{1}{2}$，
∴点M在AP的中垂线上运动，又M点在BC上，
∴1≥$|\overrightarrow{AM}|$$＞\frac{1}{2}$．
∴|$\overrightarrow{AM}$|的取值范围是A={x|$\frac{1}{8}$≤x≤1}的“充分不必要”．
故答案为：充分不必要．

点评 本题考查了向量的数量积运算性质、向量的三角形法则、直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．