题目内容

15.在等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1,a2,S3成等比数列,则$\frac{{S}_{n}}{n{a}_{n}}$等于(  )
A.$\frac{n}{2n-1}$B.$\frac{n}{2n+1}$C.$\frac{2n-1}{n}$D.$\frac{2n+1}{n}$

分析 通过设数列{an}的公差为d,利用a1,a2,S3成等比数列,计算可知a1=$\frac{1}{2}$d,通过用公差表示出通项及前n项和,计算即得结论.

解答 解:设数列{an}的公差为d,
则a2=a1+d,a3=a1+2d,
∵a1,a2,S3成等比数列,
∴${{a}_{2}}^{2}$=a1•S3
即(a1+d)2=a1(3a1+3d),
整理得:a1=$\frac{1}{2}$d,
∴an=a1+(n-1)d=$\frac{2n-1}{2}$•d,
Sn=na1+$\frac{n(n-1)}{2}$•d=$\frac{{n}^{2}}{2}$•d,
∴$\frac{{S}_{n}}{n{a}_{n}}$=$\frac{\frac{{n}^{2}}{2}•d}{n•\frac{2n-1}{2}•d}$=$\frac{n}{2n-1}$,
故选:A.

点评 本题考查数列的通项及前n项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

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