Question

15．在等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁，a₂，S₃成等比数列，则$\frac{{S}_{n}}{n{a}_{n}}$等于（　　）

• A． $\frac{n}{2n-1}$
• B． $\frac{n}{2n+1}$
• C． $\frac{2n-1}{n}$
• D． $\frac{2n+1}{n}$

Answer 1

分析 通过设数列{a_n}的公差为d，利用a₁，a₂，S₃成等比数列，计算可知a₁=$\frac{1}{2}$d，通过用公差表示出通项及前n项和，计算即得结论．

解答 解：设数列{a_n}的公差为d，
则a₂=a₁+d，a₃=a₁+2d，
∵a₁，a₂，S₃成等比数列，
∴${{a}_{2}}^{2}$=a₁•S₃，
即（a₁+d）²=a₁（3a₁+3d），
整理得：a₁=$\frac{1}{2}$d，
∴a_n=a₁+（n-1）d=$\frac{2n-1}{2}$•d，
S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$•d=$\frac{{n}^{2}}{2}$•d，
∴$\frac{{S}_{n}}{n{a}_{n}}$=$\frac{\frac{{n}^{2}}{2}•d}{n•\frac{2n-1}{2}•d}$=$\frac{n}{2n-1}$，
故选：A．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．