题目内容

7.已知函数f(x)=lnx-$\frac{1}{4}$x+$\frac{3}{4x}$-1.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设g(x)=-x2+2bx-4,若对任意x1∈(0,2),当x2∈[1,2]时,f(x1)≥g(x2)恒成立,求实数b的取值范围.

分析 (1)求出f(x)的导数,令导数大于0,可得增区间,令导数小于0,可得减区间,注意x>0;
(2)由(1)可得函数f(x)在(0,2)的最小值,再将对任意x1∈(0,2),当x2∈[1,2]时,f(x1)≥g(x2)恒成立,转化为只需当x∈[1,2]时,gmax(x)≤f(x)min即可,由此可求实数b的取值范围.

解答 解:(1)函数f(x)=lnx-$\frac{1}{4}$x+$\frac{3}{4x}$-1的导数f′(x)=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{4}$-$\frac{3}{4{x}^{2}}$=$\frac{-(x-1)(x-3)}{4{x}^{2}}$,x>0,
由f′(x)>0,可得1<x<3,由f′(x)<0,可得0<x<1或x>3.
函数f(x)的增区间为(1,3),减区间为(0,1),(3,+∞);
(2)由(1)知,函数f(x)在(0,1)上是单调递减,在(1,2)上单调递增,
所以函数f(x)在(0,2)的最小值为f(1)=-$\frac{1}{2}$,
若对任意x1∈(0,2),当x2∈[1,2]时,f(x1)≥g(x2)恒成立,
只需当x∈[1,2]时,g(x)max≤-$\frac{1}{2}$即可,
又g(x)=-(x-b)2+b2-4,x∈[1,2],
当b≥2时,g(x)max=g(2)=4b-8≤-$\frac{1}{2}$,解得b≤$\frac{15}{8}$,不合题意,舍去;
当b≤1时,g(x)max=g(1)=2b-5≤-$\frac{1}{2}$,解得b≤$\frac{9}{4}$.即为b≤1;
当1<b<2时,g(x)max=g(b)=b2-4≤-$\frac{1}{2}$,解得-$\frac{\sqrt{14}}{2}$≤b≤$\frac{\sqrt{14}}{2}$.即为1<b<2.
综上,实数b的取值范围是(-∞,2).

点评 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查恒成立问题,解题的关键是将对任意x1∈(0,2),x2∈[1,2]时,f(x1)≥g(x2)恒成立,转化为只需当x∈[1,2]时,gmax(x)≤f(x)min

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