Question

【题目】已知函数f（x）=9x﹣3x+1+c（其中c是常数）．
（1）若当x∈[0，1]时，恒有f（x）＜0成立，求实数c的取值范围；
（2）若存在x0∈[0，1]，使f（x0）＜0成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=（3x）2﹣3×3x+c，令3x=t，当x∈[0，1]时，t∈[1，3]．

问题转化为当t∈[1，3]时，g（t）=t2﹣3t+c＜0恒成立．

于是，只需g（t）在[1，3]上的最大值g（3）＜0，即32﹣3×3+c＜0，解得c＜0．

∴实数c的取值范围是（﹣∞，0）

（2）解：若存在x0∈[0，1]，使f（x0）＜0，则存在t∈[1，3]，使g（t）=t2﹣3t+c＜0．

于是，只需g（t）在[1，3]上的最小值 ＜0，即 ，解得 ．

∴实数c的取值范围是

【解析】（1）令3x=t把函数换元，化为关于t的二次函数，利用函数的单调性求出函数的最大值，由最大值小于0得答案；（2）由（1）中二次函数的最小值小于0求解c的范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数在闭区间上的最值的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握当时，当时，；当时在上递减，当时，．