Question

10．已知Rt△ABC中，AB=AC=a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC成直角，
（1）平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；
（2）求∠BAC的度数．

Answer 1

分析 （1）由原直角三角形中，AD是斜边BD上的高，得到AD与DB、DC都垂直，利用线面垂直的判定得到AD垂直于面BDC，由线面垂直的性质得到要证得结论；
（2）由原题给出的边的长度，通过解直角三角形分别求出三角形ABC三边的长度，然后利用余弦定理求解∠BAC的大小

解答 （1）证明：∵AD⊥BC，AD⊥DC，BD∩DC=D，∴AD⊥平面BDC．
又AD?平面ABD，AD?平面ACD，∴平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；
（2）证明：在原Rt△ABC中，AB=AC=a，∴BC=$\sqrt{2}$a，
∴BD=DC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
又折叠后∠BDC=90°，
∴△BDC为等腰Rt△，∴BC=a，∴AB=BC=AC，∴∠BAC=60°．

点评 本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了点线面间距离的计算，考查了学生的空间想象能力和思维能力，解答的关键是对折叠问题折叠前后的变量与不变量的掌握，是中档题．