Question

7．已知双曲线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1共焦点，且与坐标轴相交的两交点的距离是4，则双曲线的标准方程是$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{12}$=1．

Answer 1

分析 根据双曲线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1共焦点，且与坐标轴相交的两交点的距离是4，求出a，b，即可求出双曲线的标准方程．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1的焦点坐标为（0，±4），∴c=4，
∵与坐标轴相交的两交点的距离是4，∴a=2，
∴b=2$\sqrt{3}$，
∴双曲线的标准方程是$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{12}$=1．
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{12}$=1．

点评 本题考查了圆锥曲线的共同特征，考查了双曲线的方程，由焦点的位置确定标准方程是该题的关键，此题是中档题．