Question

【题目】已知曲线与轴有唯一公共点.

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）曲线在点处的切线斜率为.若两个不相等的正实数，满足，求证：.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.

【解析】

试题求导得，讨论、时两种情况，由函数与轴有唯一公共点，借助零点存在定理和极限求出的取值范围由（Ⅰ）的结论，求导结合题意解得，由，不妨设，，构造即可证明

解析：（Ⅰ）解：函数的定义域为..

由题意，函数有唯一零点..

（1）若，则.

显然恒成立，所以在上是增函数.

又，所以符合题意.

（2）若，.；.

所以在上是减函数，在上是增函数.

所以 .

由题意，必有（若，则恒成立，无零点，不符合题意）

①若，则.

令，则 .

；.

所以函数在上是增函数，在上是减函数.

所以.所以，当且仅当时取等号.

所以，，且.

取正数，则 ；

取正数，显然.而，

令，则.当时，显然.

所以在上是减函数.

所以，当时， ，所以.

因为，所以 .

又在上是减函数，在上是增函数，

则由零点存在性定理，在、上各有一个零点.

可见，，或不符合题意.

注：时，若利用，，，说明在、上各有一个零点.

②若，显然，即.符合题意.

综上，实数的取值范围为.

（Ⅱ）由题意，.所以，即.

由（Ⅰ）的结论，得.

，在上是增函数.

；.

由，不妨设，则.

从而有，即.

所以 .

令，显然在上是增函数，且.

所以.

从而由，得.