题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)求在点P(1,
)处的切线方程;
(2)若关于x的不等式有且仅有三个整数解,求实数t的取值范围;
(3)若存在两个正实数
,
满足
,求证:
.
【答案】(1);(2)
;(3)见解析.
【解析】
(1)求出P(1,0),x>0,,f′(1)=1,利用导数的几何意义能求出f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程.
(2)求出,x>0,则f′(x)=0,得x=e,列表讨论能求出实数t的取值范围.
(3)h(x)=x2﹣2x+4lnx,从而(x1+x2)2﹣2(x1+x2)﹣4lnx1x2,令t=x1x2,=t2+2t﹣4lnt,(t>0),…(11分)则
=2t+2﹣
=
,由此利用导数性质能证明x1+x2≥3.
(1),
,所以
点坐标为
;
又,
,则切线方程为
,
所以函数在点
处的切线方程为
.
(2)
正 | 0 | 负 | |
单调增 | 极大值 | 单调减 |
由, 得
;
时,
或
,满足条件的整数解有无数个,舍;
时,
,得
且
,满足条件的整数解有无数个,舍;
时,
或
,当
时,无整数解;
当时,不等式有且仅有三个整数解,又
,
,
因为在
递增,在
递减;所以
, 即
,即
;
所以实数的取值范围为
.
(3),
因为,
所以,
即,
令,
,
则,
当时,
,所以函数
在
上单调递减;
当时,
,所以函数
在
上单调递增.
所以函数在
时,取得最小值,最小值为3.
因为存在两个正实数,满足
,所以
,
即,所以
或
.
因为为正实数,所以
.
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