题目内容
【题目】已知椭圆的一个焦点与抛物线
的焦点
重合,且点
到直线
的距离为
,
与
的公共弦长为
.
(1)求椭圆的方程及点
的坐标;
(2)过点的直线
与
交于
两点,与
交于
两点,求
的取值范围.
【答案】(1)的方程为
,点
的坐标为
;(2)
.
【解析】试题分析:(1)根据抛物线的几何性质,求解的值,进而得到椭圆的焦点坐标,即
,又由两曲线的公共点的坐标,代入椭圆的方程,即可求得
的值,得到椭圆的方程;
(2)当过点
且垂直于
轴时,此时
的方程为
代入椭圆的方程,求得
,进而求得此时
的值,当
与
轴不垂直时,可设
的方程为
,
设,代入椭圆的方程,利用根与系数的关系及韦达定理的应用,化简即可求解
的值。
试题解析:(1)∵的焦点
的坐标为
,
由点到直线
的距离为
得
.
∵,解得
,又
为椭圆的一个焦点,∴
.
∵与
的公共弦长为
,
与
都关于
轴对称,
而的方程为
,从而
与
的公共点的坐标为
,
∴②,
联立①②解得,
∴的方程为
,点
的坐标为
.
(2)当过点
且垂直于
轴时,
的方程为
代入
求得
,
∴,把
代入
求得
,∴
,
此时.
当与
轴不垂直时,要使
与
有两个交点,可设
的方程为
,
此时设
把直线的方程与椭圆
的方程联立得
,
消去化简得
,
可得,
∴,
把直线的方程与抛物线
的方程联立得
,
消去化简得
,
可得,
∴,
,
∵,∴
,∴
,
∴,
综上可得的取值范围是
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】随着手机的发展,“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查,随机抽取了50人,他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表.
年龄(单位:岁) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
(Ⅰ)若以“年龄45岁为分界点”,由以上统计数据完成下面列联表,并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关;
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
(Ⅱ)若从年龄在[25,35)和[55,65)的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查,并给予其中3人“红包”奖励,求3人中至少有1人年龄在[55,65)的概率.
参考数据如下:
附临界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
的观测值:
(其中
)
【题目】沪昆高速铁路全线2016年12月28日开通运营.途经鹰潭北站的、
两列列车乘务组工作人员为了了解乘坐本次列车的乘客每月需求情况,分别在两个车次各随机抽取了100名旅客进行调查,下面是根据调查结果,绘制了月乘车次数的频率分布直方图和频数分布表.
(1)若将频率视为概率,月乘车次数不低于15次的称之为“老乘客”,试问:哪一车次的“老乘客”较多,简要说明理由;
(2)已知在次列车随机抽到的50岁以上人员有35名,其中有10名是“老乘客”,由条件完成
列联表,并根据资料判断,是否有
的把握认为年龄与乘车次数有关,说明理由.
老乘客 | 新乘客 | 合计 | |||||||
50岁以上 | |||||||||
50岁以下 | |||||||||
合计 | |||||||||
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |||||
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | |||||
附:随机变量(其中
为样本容量)