题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=b2经过椭圆 (0<b<2)的焦点.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)设直线l:y=kx+m交椭圆E于P,Q两点,T为弦PQ的中点,M(﹣1,0),N(1,0),记直线TM,TN的斜率分别为k1 , k2 , 当2m2﹣2k2=1时,求k1k2的值.
【答案】
(1)解:因0<b<2,所以椭圆E的焦点在x轴上,
又圆O:x2+y2=b2经过椭圆E的焦点,所以椭圆的半焦距c=b,
所以2b2=4,即b2=2,所以椭圆E的方程为
(2)解:设P(x1,y1),Q(x2,y2),T(x0,y0),
联立 ,消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,
所以 ,又2m2﹣2k2=1,所以x1+x2= ,
所以 , ,
则
【解析】(1)椭圆E的焦点在x轴上,圆O:x2+y2=b2经过椭圆E的焦点,所以椭圆的半焦距c=b,所以2b2=4,即b2=2,即可求出椭圆E的方程;(2)求出T的坐标,利用斜率公式,结合条件,即可求k1k2的值.
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