Question

【题目】已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点相同.

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线与曲线，都只有一个公共点，记直线与抛物线的公共点为，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）求出椭圆的焦点坐标，即得抛物线焦点坐标，可得抛物线方程；

（2）说明斜率不存在的直线不可能是公切线，斜率存在时，设方程为，由两个相切，即相应的，求得，从而得切点坐标．

（1）由已知可得椭圆的，，所以，即，因此椭圆的右焦点为.

于是，由，得，抛物线的方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，显然不满足题意.

当直线的斜率不存在时，显然不满足题意.

当直线的斜率存在时，可设直线的方程为.

联立与，得方程组，消去，整理，得，

所以，即.（*）

联立与，得方程组，消去，整理，得.

∴，即.（**）

由（*）和（**）得，所以

，

其对应的.

将的值代入方程，解得，进而.

经检验或符合题意，为所求.