Question

10．给出如下三个命题：
①“x≥2$\sqrt{2}$”是“log₂（x+1）＞2”的充分不必要条件；
②将函数y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位可得到函数y=sin2x的图象；
③$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为单位向量，其夹角为θ，若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|＞1，则$\frac{π}{3}$＜θ≤π．
其中正确的命题是②③．（填序号）

Answer 1

分析 ①由log₂（x+1）＞2得x＞3，进而判断出正误；
②将函数y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位可得到函数y=$sin[2（x+\frac{π}{6}）-\frac{π}{3}]$的图象，即可判断出正误；
③由|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2-2cosθ}$＞1，得cosθ＜$\frac{1}{2}$，θ∈[0，π]，可得θ范围，即可判断出正误．

解答 解：①由log₂（x+1）＞2得x＞3，则“x＞2$\sqrt{2}$”是“log₂（x+1）＞2”的必要不充分条件，故①错误；
②将函数y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位可得到函数y=$sin[2（x+\frac{π}{6}）-\frac{π}{3}]$=sin2x的图象，因此正确；
③由|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2-2cosθ}$＞1，得cosθ＜$\frac{1}{2}$，θ∈[0，π]，∴$\frac{π}{3}$＜θ≤π，因此③正确．
故答案为：②③．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、对数函数的性质、三角函数变换、向量的数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．