题目内容

15．已知正实数a，b满足$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=3，则（a+1）（b+2）的最小值是（　　）
A．$\frac{25}{3}$B．$\frac{50}{9}$C．7D．6

分析 先根据基本不等式的性质得到ab≥$\frac{8}{9}$，再由题意得到2a+b=3ab，即可求出（a+1）（b+2）的最小值．

解答 解：∵正实数a，b满足$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=3，
∴3=$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$≥2$\sqrt{\frac{2}{ab}}$，当且仅当a=$\frac{2}{3}$，b=$\frac{4}{3}$取等号，
∴$\sqrt{ab}$≥$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴ab≥$\frac{8}{9}$，
∵$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=3，
∴2a+b=3ab，
∴（a+1）（b+2）=ab+2a+b+2=4ab+2≥4×$\frac{8}{9}$+2=$\frac{50}{9}$，
∴（a+1）（b+2）的最小值是$\frac{50}{9}$，
故选：B．

点评 本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．

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