Question

设命题p：?x₀∈R，x₀²-2ax₀+2-a=0，命题q：?x∈[1，+∞），a≤log₁₆（3x+1），如果命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

当命题p为真时，则方程x²-2ax+2-a=0有实根，
即△=4a²-4（2-a）≥0⇒a≥1或a≤-2，
当q为真时，即?x∈[1，+∞），a≤log₁₆（3x+1）恒成立，
由于f（x）=log₁₆（3x+1）在[1，+∞）上是增函数，
所以f（x）的最小值是log₁₆（3×1+1）=

1

2

，
又a≤log₁₆（3x+1）恒成立?a≤f（x）_min所以a≤

1

2

，
因为命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，从而p，q中一真一假．
当p真q假时即

a≥1或a≤-2 a＞ 1 2

⇒a≥1；
当p假q真时即

-2＜a＜1 a≤ 1 2

_⇒-2＜a≤

1

2

．
综上a≥1或-2＜a≤

1

2

故实数a的取值范围是a≥1或-2＜a≤

1

2

．