题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)讨论函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数在
处取得极值,对
,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1) 当时,
的单调递减区间是
,无单调递增区间;当
时,
的单调递减区间是
,单调递增区间是
(2)
【解析】试题分析:(1)对a分类讨论确定函数
的单调区间;(2)由函数
在
处取得极值,确定
,对
,
恒成立即
对
恒成立,构造新函数求最值即可.
试题解析:
(1)①在区间上,
,
当时,
恒成立,
在区间
上单调递减;
当时,令
得
,在区间
上,
,函数
单调递减,在区间
上,
,函数
单调递增.
综上所述:当时,
的单调递减区间是
,无单调递增区间;
当时,
的单调递减区间是
,单调递增区间是
②因为函数在
处取得极值,
所以,解得
,经检验可知满足题意.
由已知,即
,
即对
恒成立,
令,
则,
易得在
上单调递减,在
上单调递增,
所以,即
.
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