题目内容
(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.
（文）对于数列
，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为
,公差为
的无穷等差数列
的子数列问题，为此，他取了其中第一项
，第三项
和第五项
.
(1) 若
成等比数列,求的值；
(2) 在
, 
的无穷等差数列中，是否存在无穷子数列
，使得数列为等比数列？若存在，请给出数列的通项公式并证明；若不存在，说明理由；
(3) 他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数
，公比为正整数
(
)的无穷等比数 列
,总可以找到一个子数列
,使得构成等差数列”. 于是，他在数列中任取三项
，由
与
的大小关系去判断该命题是否正确. 他将得到什么结论？
（文）对于数列
，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为,公差为的无穷等差数列的子数列问题，为此，他取了其中第一项，第三项和第五项.(1) 若
成等比数列,求的值；(2) 在
, 的无穷等差数列中，是否存在无穷子数列，使得数列为等比数列？若存在，请给出数列的通项公式并证明；若不存在，说明理由；(3) 他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数
，公比为正整数()的无穷等比数 列,总可以找到一个子数列,使得构成等差数列”. 于是，他在数列中任取三项，由与的大小关系去判断该命题是否正确. 他将得到什么结论？（1）d=0（2）存在bn=4n-1为符合条件的一个子数列，因为bn="1+3M" ="1+3" [(M+1)-1]是{an}中的第M+1项（3）通过计算可以得到>，从而原命题为假命题
>，从而原命题为假命题试题分析：(1)由a32=a1a5， ……2分
即(a1+2d)2=a1(a1+4d)，得d=0. ……4分
(2) an=1+3(n-1)，如bn=4n-1便为符合条件的一个子数列. ……7分
因为bn=4n-1=(1+3)n-1=1+
3+
32+…+
3n-1=1+3M, ……9分这里M=
+3+…+3n-2为正整数，所以,bn="1+3M" ="1+3" [(M+1)-1]是{an}中的第M+1项，得证. ……11分
(注：bn的通项公式不唯一)
(3) 该命题为假命题. ……12分
由已知可得
,因此,
,又
,故
, ……15分由于
是正整数，且
，则
,又
是满足的正整数，则
,
,所以，
> ,从而原命题为假命题. ……18分点评：等差数列和等比数列是高考中常考的两种特殊数列，它们的判定和通项公式、前n项和公式的应用要熟练掌握，灵活应用.
练习册系列答案
相关题目
}中，若
，则
（ ）
，则
等于（ ）
的前
项的和为
，则
=_________.
，如果
（
=1，2，3，…）为完全平方数，则称数
性质”．不论数列
，且
是
的一个排列；②数列
项和
；②数列1，2，3，4，5；③1，2，3，…，11．具有“
的前
项和为
，且
，则
.