题目内容
【题目】如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,D1D⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,
(1)若E为DD1的中点,证明:BD1∥面EAC
(2)求证:AC⊥平面BB1D1D.
【答案】
(1)证明:设AC∩BD=O,则O是BD的中点,
∵E为DD1的中点,
∴OE∥BD1,
∵BD1面EAC,OE面EAC,
∴BD1∥面EAC
(2)证明:∵ABCD为正方形,∴AC⊥BD,
∵D1D⊥平面ABCD,∴D1D⊥AC,
又BD∩D1D=D,
∴AC⊥平面BB1D1D.
【解析】(1)设AC∩BD=O,则O是BD的中点,要证明BD1∥面EAC,证明OE∥BD1即可;(2)要证AC⊥平面BB1D1D,只需证得AC⊥BD,AC⊥D1D,由正方形的对角线的性质和D1D⊥底面ABCD,即可得证.
【考点精析】认真审题,首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行),还要掌握直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)的相关知识才是答题的关键.
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