Question

已知奇函数f（x）=2^x+a•2^-x，x∈（-1，1）
（1）求实数a的值；
（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性并进行证明；
（3）若函数f（x）满足f（1-m）+f（1-2m）＜0，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用f（0）=0即可求得a的值．
（2）利用增函数的定义即可证明．
（3）利用奇函数的定义将f（1-m）+f（1-2m）＜0可化为f（1-m）＜-f（1-2m）=f（2m-1），再由（2）单调性可得-1＜1-m＜2m-1＜1，解出即可．

解答：解：（1）∵函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，1+a=0，∴a=-1．
（2）证明：由（1）可知，f（x）=2x-

1

2x

．
任取-1＜x₁＜x₂＜1，则

f(x1)-f(x2)=(2x1- 1 2x1 )-(2x2- 1 2x2 )=(2x1-2x2)-( 1 2x1 - 1 2x2 ) =(2x1-2x2)+( 2x1-2x2 2x1+x2 )=(2x1-2x2)(1+ 1 2x1+x2 ) ∵-1＜x1＜x2＜1，2x1+x2＞0 ∴f(x1)-f(x2)＜0，得f(x1)＜f(x2)

所以，f（x）在（-1，1）上单调递增．
（3）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x）．
由已知f（x）在（-1，1）上是奇函数，
∴f（1-m）+f（1-2m）＜0可化为f（1-m）＜-f（1-2m）=f（2m-1），
又由（2）知f（x）在（-1，1）上单调递增，
∴-1＜1-m＜2m-1＜1，解得

2

3

＜m＜1．

点评：本题综合考查了函数的奇偶性和单调性，深刻理解其定义和性质是解决问题的关键．