题目内容

【题目】将函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的图象上的每一点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的一半,再将图象向右平移 个单位长度得到函数y=sinx的图象.
(1)直接写出f(x)的表达式,并求出f(x)在[0,π]上的值域;
(2)求出f(x)在[0,π]上的单调区间.

【答案】
(1)解:由题意可得,把函数y=sinx的图象向左平移 个单位长度得到y=sin(x+ )的图象,

再把横坐标缩短为原来的2倍,可得y=sin( x+ )=cos[ ﹣( x+ )]=cos( x﹣ )的图象,

∵0≤x≤π,∴ ,∴ ,∴

当x=0时, ;当 时,f(x)=1


(2)解:令 ,k∈Z,解得 ,k∈Z,

所以单调递增区间为 ,k∈Z;

同理单调递减区间为 ,k∈Z,

∵x∈[0,π],∴f(x)的单调递增区间为 ,单调递减区间为


【解析】(1)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的定义域和值域,得出结论.(2)根据f(x)的解析式,以及正弦函数的单调性,得出结论.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换的相关知识,掌握图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象.

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