题目内容
【题目】设n∈N* ， n≥3，k∈N* ．
（1）求值： ①kCnk﹣nCn﹣1k﹣1；
② 
（k≥2）；
（2）化简：12Cn0+22Cn1+32Cn2+…+（k+1）2Cnk+…+（n+1）2Cnn ．
【答案】
（1）解：
① 
= 
② 
= 
= 
= 
．
（2）解：方法一：由（1）可知当k≥2时 
= 
．
故 
= 
=（1+4n）+n（n﹣1）2n﹣2+3n（2n﹣1﹣1）+（2n﹣1﹣n）=2n﹣2（n2+5n+4）．
方法二：当n≥3时，由二项式定理，有 
，
两边同乘以x，得 
，
两边对x求导，得 
，
两边再同乘以x，得 
，
两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x= 
．
令x=1，得2n+n2n﹣1+n（n﹣1）2n﹣2+2n2n﹣1= 
，
即 =2n﹣2（n2+5n+4）
【解析】（1）利用组合数的计算公式即可得出．（2）方法一：由（1）可知当k≥2时 = ．代入化简即可得出．方法二：当n≥3时，由二项式定理，有 ，两边同乘以x，得 ， 两边对x求导，得 ，两边再同乘以x，得 两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x= ．
令x=1，即可得出．
【考点精析】本题主要考查了组合与组合数的公式的相关知识点，需要掌握从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合才能正确解答此题．
【题目】某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：
信息技术 | 生物 | 化学 | 物理 | 数学 | |
周一 |
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周三 |
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周五 |
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根据上表：
（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；
（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
