Question

【题目】已知椭圆C： 的右焦点F（ ），过点F作平行于y轴的直线截椭圆C所得的弦长为 ． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点（1，0）的直线l交椭圆C于P，Q两点，N点在直线x=﹣1上，若△NPQ是等边三角形，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 设椭圆C的焦半距为c，则c= ，于是a2﹣b2=6． 把x=c代入椭圆的标准方程可得： =1，整理得y2=b2（1﹣ ）= ，解得y= ，
∴ = ，即a2=2b4 ，
∴2b4﹣b2﹣6=0，解得b2=2，或b2=﹣ （舍去），进而a2=8，
∴椭圆C的标准方程为 =1．
（Ⅱ）设直线PQ：x=ty+1，P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）．
联立直线与椭圆方程： ，消去x得：（t2+4）y2+2ty﹣7=0，
∴y1+y2=﹣ ，y1y2= ．
于是x1+x2=t（y1+y2）+2= ，
故线段PQ的中点D ．
设N（﹣1，y0），由|NP|=|NQ|，则kNDkPQ=﹣1，
即 =﹣t，整理得y0=t+ ，得N ．
又△NPQ是等边三角形，
∴|ND|= |PQ|，即 ，
即 + = ，
整理得 = ，
解得 t2=10，t= ，
∴直线l的方程是x ﹣1=0
【解析】（Ⅰ） 设椭圆C的焦半距为c，则c= ，于是a2﹣b2=6．把x=c代入椭圆的标准方程可得：y= ，即 = ，联立解出即可得出．（Ⅱ）设直线PQ：x=ty+1，P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）．联立直线与椭圆方程可得：（t2+4）y2+2ty﹣7=0，利用一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等边三角形的性质即可得出．
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：即可以解答此题．