题目内容
【题目】已知双曲线
与椭圆
有相同的焦点.
求双曲线
的方程；
以
为中点作双曲线的一条弦
，求弦所在直线的方程.
【答案】
【解析】
根据椭圆的方程和题意，得到双曲线
的焦点坐标，求出
，再由等轴双曲线的性质，以及
，即可求出结果；
先讨论
所在直线斜率不存在时，根据题意，可直接排除；再讨论所在直线斜率存在时，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理，以及中点坐标公式，即可求出结果.
由已知椭圆
得双曲线的焦点为
，即，
由等轴双曲线的性质
及，
则
所求双曲线的方程为
当所在直线斜率不存在时，由对称性可知，中点不可为
，
故此时不满足题意;
当所在直线斜率存在时，设所在直线的方程为
，
联立方程组
得
①
点在所在的直线
上，即
②.
联立①②两式，解得
，
经检验，直线方程即为所求.
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【题目】有两种理财产品
和
，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：
产品：
投资结果 | 获利 | 不赔不赚 | 亏损 |
概率 |
|
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产品：
投资结果 | 获利 | 不赔不赚 | 亏损 |
概率 |
|
|
|
注：
（1）若甲、乙两人分别选择了产品
投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于
，求实数
的取值范围；
（2）若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想.
