Question

11．建立极坐标系证明：已知半圆直径|AB|=2r（r＞0），半圆外一条直线l与AB所在直线垂直相交于点T，并且|AT|=2a（2a$＜\frac{r}{2}$），若半圆上相异两点M，N到l的距离|MP|，|NQ|满足|MP|：|MA|=|NQ|：|NA|=1，则|MA|+|NA|=|AB|．

Answer 1

分析 证法一，建立极坐标系，利用半圆的极坐标方程表示出|MP|、|NQ|；构造方程，利用韦达定理证明|MA|+|NA|=|AB|；
证法二：建立极坐标系，利用半圆的极坐标方程表示出点M、N，由M、N在抛物线ρ=$\frac{2a}{1-cosθ}$上，得出|MA|+|NA|=|AB|．

解答 解：证法一：以A为极点，射线AB为极轴建立直角坐标系，
则半圆的极坐标方程为ρ=2rcosθ，设M（ρ₁，θ₁），N（ρ₂，θ₂），
则ρ₁=2rcosθ₁，ρ₂=2rcosθ₂，
又|MP|=2a+ρ₁cosθ₁=2a+2rcos²θ₁，|NQ|=2a+ρ₂cosθ₂=2a+2rcos²θ₂，
∴|MP|=2a+2rcos²θ₁=2rcosθ₁，|NQ|=2a+2rcos²θ₂=2rcosθ₂；
∴cosθ₁，cosθ₂是方程rcos²θ-rcosθ+a=0的两个根，
由韦达定理：cosθ₁+cosθ₂=1，
∴|MA|+|NA|=2rcosθ₁+2rcosθ₂=2r=|AB|．
证法二：以A为极点，射线AB为极轴建立直角坐标系，
则半圆的极坐标方程为ρ=2rcosθ，
设M（ρ₁，θ₁），N（ρ₂，θ₂），
又由题意知，点M、N在抛物线ρ=$\frac{2a}{1-cosθ}$上，
∴2rcosθ=$\frac{2a}{1-cosθ}$，
即rcos²θ-rcosθ+a=0，
设cosθ₁，cosθ₂是该方程的两个根，
由韦达定理：cosθ₁+cosθ₂=1，
∴|MA|+|NA|=2rcosθ₁+2rcosθ₂=2r=|AB|．

点评 本题考查了极坐标方程的应用问题，也考查了逻辑推理能力与计算能力，是综合性题目．