题目内容
【题目】已知在四棱锥中,底面
是矩形,
平面
,
,
分别是
,
的中点,
与平面
所成的角的正切值是
;
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的正切值.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)取的中点
,连接
,通过证明四边形
是平行四边形,证得
,从而证得
平面
.(2)连接
,证得
为
与平面
所成角.根据
的值求得
的长,作出二面角
的平面角并证明,解直角三角形求得二面角
的正切值.
(1)证明:取的中点
,连接
.∵
是
中点
∴
又是
的中点,∴
∴,从而四边形
是平行四边形, 故
又平面
,
平面
,∴
(2)∵平面
,∴
是
在平面
内的射影
为
与平面
所成角,
四边形为矩形,
∵,∴
,
∴
过点作
交
的延长线于
,连接
,
∵平面
据三垂线定理知.∴
是二面角
的平面角
易知道为等腰直角三角形,∴
∴=
∴二面角的正切值为
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