题目内容

【题目】已知函数

(1)若函数fx)有两个零点,求实数a的取值范围;

(2)若a=3,且对任意的x1∈[-1,2],总存在,使gx1)-fx2)=0成立,求实数m的取值范围.

【答案】1

2

【解析】

1)令t=x2,则t∈[13],记,问题转化为函数y=ht)与y=a有两个交点,利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值然后求解实数a的范围.

2)由(1)知fx∈[12],记A=[12],通过当m=0时,当m0时,当m0时,分类求实数m的取值范围,推出结果即可.

1)由题意,函数

t=x2,则t∈[13],则

要使得函数fx)有两个零点,即函数y=ht)与y=a有两个交点,

因为,当t∈(1,2)时,<0;当t∈(2,3)时,>0,

所以函数ht)在(12)递减,(23)递增,

从而htmin=h2=4h1=5

由图象可得,当时,y=ht)与y=a有两个交点,

所以函数fx)有两个零点时实数a的范围为:

2)由(1)知fx∈[12],记A=[12]

m=0时,,显然成立;

m0时,[-12]上单调递增,所以

由对任意的,总存在,使成立,可得

所以,解得

m0时,[-12]上单调递减,所以

所以,截得

综上,所求实数m的取值范围为

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