题目内容
【题目】设满足以下两个条件的有穷数列为
阶“期待数列”:①
;②
.
(1)若等比数列为
阶“期待数列”
,求公比
;
(2)若一个等差数列既是
阶“期待数列”又是递增数列
,求该数列的通项公式;
(3)记阶“期待数列”
的前
项和为
,求证;数列
不能为
阶“期待数列”.
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析.
【解析】
(1)对是否等于1进行讨论,令
解出
;
(2)由得出下标和为
的两项和为0,根据数列的单调性得出前
项和为
,后
项和为
,根据等差数列的性质将后
项和减去前
项和即可得出公差
与
的关系,再利用求和公式得出首项
;
(3)①根据条件①②即可得出数列的所有正项和为,所有负项和为
,故而
;
②由①可知的前
项全为非负数,后面的项全是负数,于是
的前
项和为
,故而得出
,于是得出
.
解:(1)若,由①得:
,得
,不合题意,舍去;
若,由①得:
,解得
.
(2)设等差数列的公差是,
因为,
,
,
,
,
则,
.
两式相减得:,
,
又,解得
,
.
(3)记中非负项和为
,负项和为
,
则,
,得
,
因为,所以
.
若存在,使
,
则,
,
,
,
,
,
,
,且
,
若数列是
阶“期待数列”,记
的前
项和为
,
则,
,
因为,所以
,所以
,
,
又因为,则
,
所以
所以与
不能同时成立,
即数列不能为
阶“期待数列”.
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