Question

（14分）2006年5月3日进行抚仙湖水下考古，潜水员身背氧气瓶潜入湖底进行
考察，氧气瓶形状如图，其结构为一个圆柱和一个圆台的组合（设氧气瓶中氧气已充满，所
给尺寸是氧气瓶的内径尺寸），潜水员在潜入水下米的过程中，速度为米／分，每分钟
需氧量与速度平方成正比（当速度为1米／分时，每分钟需氧量为0．2L）；在湖底工作时，
每分钟需氧量为0．4 L；返回水面时，速度也为米／分，每分钟需氧量为0．2 L，若下
潜与上浮时速度不能超过p米／分，试问潜水员在湖底最多能工作多少时间?（氧气瓶体积
计算精确到1 L，、p为常数，圆台的体积V=,其中h为高，r、R分
别为上、下底面半径．）

Answer 1

解： 氧气瓶中氧气的体积
V=17 L．
设潜入水下米过程中的每分钟需氧量为Q，则Q=k²，
因当速度为1 m/分时，每分钟需氧量0．2 L，所以k=0．2，
故来回途中需氧量为×0．2+，则在湖底的工作时间为

当且仅当，=1时取等号．
所以①当p≥1时，的最大值是42．5－．
②当p<1时，
－
即当时，在湖底的工作时间的最大值为
因此，当p≥1时，潜水员在湖底最多能工作42．5－分钟；
当p＜l时，潜水员在湖底最多能工作分钟．

略