Question

1．已知集合A={x|x²-x-6＞0}，B={x|x²+mx+n≤0}且A∪B=R，A∩B=（3，4]，求|x²-mx-n|≤8的解集．

Answer 1

分析 由条件求得m、n的值，要求的不等式即|x²-2x-8|≤8，即-8≤x²-2x-8≤8，由此求得它的解集．

解答 解：∵集合A={x|x²-x-6＞0}={x|x＜-2或＞3}，B={x|x²+mx+n≤0}且A∪B=R，A∩B=（3，4]，
∴B=[-2，4]，∴$\left\{\begin{array}{l}{-2+4=m}\\{-2×4=-n}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=8}\end{array}\right.$．
故不等式|x²-mx-n|≤8，即|x²-2x-8|≤8，即-8≤x²-2x-8≤8，求得{x|x＜1-$\sqrt{17}$ 或x＞1+$\sqrt{17}$}．

点评 本题主要考查绝对值不等式、一元如二次不等式的解法，集合间的包含关系，属于中档题．