Question

3．如图．圆锥的轴截面SAB为等腰直角三角形，Q为底面圆周上-点．
（1）若QB的中点为C，求证：平面SOC⊥平面SBQ．
（2）若∠AOQ=120°，QB=$\sqrt{3}$，求圆锥的表面积．

Answer 1

分析 （1）如图所示，由OB=OQ，QC=CB，利用等腰三角形的性质可得QB⊥OC．利用线面垂直的性质可得：BQ⊥SO．于是QB⊥平面SOC，可得QB⊥OH．再由线面垂直和面面垂直的判定定理，即可证明．
（2）由∠AOQ=120°，可得∠BOQ=60°．又QB=$\sqrt{3}$，可得OQ=$\sqrt{3}$．在等腰Rt△SAB中，AB=2$\sqrt{3}$，可得SA=SB=$\sqrt{6}$，代入圆锥表面积公式，可得答案．

解答 证明：（1）如图所示，
∵OB=OQ，QC=CB，
∴QB⊥OC，
又SO⊥底面OBQ，
∴BQ⊥SO．
又SO∩OC=O，
∴QB⊥平面SOC．
∴QB⊥OH．
又OH⊥SC，SC∩QB=C，
∴OH⊥平面SBQ．
又∵OH?平面SOC，
∴平面SOC⊥平面SBQ；
（2）解：∵∠AOQ=120°，
∴∠BOQ=60°．
又QB=$\sqrt{3}$，
∴OQ=$\sqrt{3}$．
在等腰Rt△SAB中，AB=2$\sqrt{3}$，
∴SA=SB=$\sqrt{6}$，
∴圆锥的表面积S=π×$\sqrt{3}×（\sqrt{3}+\sqrt{6）}$=（1+$\sqrt{2}$）3π．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线面垂直和面面垂直的判定与性质定理、圆锥的表面积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题