Question

11．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}A{A}_{1}$，E是棱A₁A的中点，F为棱CC₁上的一动点．
（Ⅰ）若C₁E∥平面ABF，求$\frac{{C}_{1}F}{{C}_{1}C}$的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：A₁C⊥平面ABF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得C₁E∥FA，又E是棱A₁A的中点，可得F为棱CC₁的中点，即可得解．
（Ⅱ）由题意可证∠FAC=∠A₁CC₁，从而可求A₁C⊥AF，证明AB⊥平面A₁ACC₁．即可证明A₁C⊥AB，从而得证A₁C⊥平面ABF．

解答 解：（Ⅰ）∵C₁E∥平面ABF，C₁E?平面A₁ACC₁，
平面ABF∩平面A₁ACC₁=AF，
∴C₁E∥FA，
∵E是棱A₁A的中点，∴F为棱CC₁的中点，
∴$\frac{{C}_{1}F}{{C}_{1}C}$=$\frac{1}{2}$；…6分
（Ⅱ）设AB=AC=a，则AA₁=$\sqrt{2}a$，
∵$\frac{{A}_{1}{C}_{1}}{{C}_{1}C}=\frac{FC}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠FAC=∠A₁CC₁，
∵∠A₁CC₁+∠A₁CA=90°，∴∠FAC+∠A₁CA=90°，
∴A₁C⊥AF，
∵A₁A⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴A₁A⊥AB，
∵AB⊥AC，
∴AB⊥平面A₁ACC₁．
∵A₁C?平面A₁ACC₁，∴AB⊥A₁C．
∴A₁C⊥AB，A₁C⊥AF，
∴A₁C⊥平面ABF．…13分．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．