Question

6．已知F₁，F₂分别是中心在坐标原点，对称轴为做标轴的双曲线C的左、右焦点，过F₂的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，I₁，I₂分别为△AF₁F₂，△BF₁F₂的内心，若双曲线C的离心率为2，|I₁I₂|=$\frac{9}{2}$，直线l的倾斜角的正弦值为$\frac{8}{9}$，则双曲线C的方程为（　　）

• A． x${\;}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{48}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{6}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1

Answer 1

分析 充分利用平面几何图形的性质解题．因从同一点出发的切线长相等，得|AM|=|AN|，|F₁M|=|F₁E|，|F₂N|=|F₂E|，再结合双曲线的定义得|F₁E|-|F₂E|=2a，从而即可求得△AF₁F₂的内心的横坐标a，即有I₁I₂⊥x轴，在△CF₂I₂中，运用解直角三角形知识，可得，|I₁I₂|=（c-a）[tan$\frac{θ}{2}$+tan（90°-$\frac{θ}{2}$）]=（c-a）•$\frac{1+ta{n}^{2}\frac{θ}{2}}{tan\frac{θ}{2}}$
=$\frac{2}{sinθ}$•（c-a）=$\frac{2}{\frac{8}{9}}$•（c-a）=$\frac{9}{2}$，结合双曲线C的离心率为2，求出a，b，c，即可求出双曲线C的方程．

解答 解：记边AF₁、AF₂、F₁F₂上的切点分别为M、N、E，
易见I₁、E横坐标相等，则|AM|=|AN|，|F₁M|=|F₁E|，|F₂N|=|F₂E|，
由|AF₁|-|AF₂|=2a，
即|AM|+|MF₁|-（|AN|+|NF₂|）=2a，得|MF₁|-|NF₂|=2a，
即|F₁E|-|F₂E|=2a，记I₁的横坐标为x₀，则E（x₀，0），
于是x₀+c-（c-x₀）=2a，得x₀=a，
同样内心I₂的横坐标也为a，则有I₁I₂⊥x轴，
由直线的倾斜角θ的正弦为$\frac{8}{9}$，则∠OF₂I₂=$\frac{θ}{2}$，∠I₁F₂O=90°-$\frac{θ}{2}$，
在△I₁F₂D中，|I₁I₂|=（c-a）[tan$\frac{θ}{2}$+tan（90°-$\frac{θ}{2}$）]=（c-a）•$\frac{1+ta{n}^{2}\frac{θ}{2}}{tan\frac{θ}{2}}$
=$\frac{2}{sinθ}$•（c-a）=$\frac{2}{\frac{8}{9}}$•（c-a）=$\frac{9}{2}$，
因为双曲线C的离心率为2，所以c=2a，
所以a=2，c=4，b=2$\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查三角函数的化简和求值，属于中档题．