题目内容
18.已知函数y=log${\;}_{\frac{1}{π}}$[$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$)].(1)求该函数的定义域;
(2)求该函数的单调增区间.
分析 (1)对于函数y=log${\;}_{\frac{1}{π}}$[$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$)],由sin(x+$\frac{π}{4}$)>0,可得x+$\frac{π}{4}$∈(2kπ,2kπ+π),k∈Z,由此求得函数的定义域.
(2)本题即求函数t=sin(x+$\frac{π}{4}$)在函数值大于零时的减区间,令2kπ<x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,求得x的范围,可得结论.
解答 解:(1)对于函数y=log${\;}_{\frac{1}{π}}$[$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$)],由sin(x+$\frac{π}{4}$)>0,求得x+$\frac{π}{4}$∈(2kπ,2kπ+π),k∈Z,
即 x∈(2kπ-$\frac{π}{4}$,2kπ+$\frac{3π}{4}$),可得函数的定义域为 (2kπ-$\frac{π}{4}$,2kπ+$\frac{3π}{4}$),k∈Z.
(2)函数y=log${\;}_{\frac{1}{π}}$[$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$)]的增区间,即函数t=sin(x+$\frac{π}{4}$)在函数值大于零时的减区间,
令2kπ<x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,求得x∈(2kπ-$\frac{π}{4}$,2kπ+$\frac{π}{4}$],可得函数t在函数值大于零时的减区间为(2kπ-$\frac{π}{4}$,2kπ+$\frac{π}{4}$],k∈Z.
即 y=log${\;}_{\frac{1}{π}}$[$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$)]的增区间为 (2kπ-$\frac{π}{4}$,2kπ+$\frac{π}{4}$],k∈Z.
点评 本题主要考查正弦函数的单调性、对数函数的单调性和定义域,体现了转化的数学思想,属于中档题.
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关?(注:0.95以上把握说明有关)
非体育迷 | 体育迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合计 |
附:X2=$\frac{{n{{({{n_{11}}{n_{22}}-{n_{12}}{n_{21}}})}^2}}}{{{n_{1+}}{n_{2+}}{n_{+1}}{n_{+2}}}}$,
P(X2≥k) | 0.05 | 0.01 |
k | 3.841 | 6.635 |