Question

6．在边长为2的正三角形ABC中，M是BC边上的中点，$\overrightarrow{AN}$=2$\overrightarrow{NC}$，则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BN}$=-1．

Answer 1

分析 将所求中的两个向量分别利用三角形的两边$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示，然后计算向量的乘法运算．

解答 解：如图
由已知边长为2的正三角形ABC中，M是BC边上的中点，$\overrightarrow{AN}$=2$\overrightarrow{NC}$，
则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BN}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）（\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{1}{3}{\overrightarrow{AC}}^{2}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{4}{3}-\frac{4}{2}-\frac{1}{6}×{2}^{2}×\frac{1}{2}$=-1；
故答案为：-1．

点评 本题考查了平面向量的三角形法则的运用以及数量积公式的运用；关键是将所求以$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$为基底表示出来．