题目内容
6．已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-20|，x∈N+且1≤x≤20．（1）分别计算f（1），f（5），f（20）的值；
（2）当x为何值时，f（x）取得最小值？最小值是多少？
分析 （1）f（1）即把函数中的所有x值代为1，结合等差数列的求和公式，计算可得，同理求得f（5），f（20）；
（2）设x是1～20中的某一整数，则f（x）=（x-1）+（x-2）+…+3+2+1+0+1+2+…+（20-x），再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，注意x为整数，即可得到最小值．
解答 解：（1）由f（x）=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-20|，
得f（1）=0+1+2+…+19=$\frac{19×（1+19）}{2}$=190；
f（5）=4+3+2+1+0+1+2+…+15=10+$\frac{15×（1+15）}{2}$=10+120=130；
f（20）=19+18+17+…+3+2+1+0=$\frac{19×（19+1）}{2}$=190．
（2）设x是1～20中的某一整数，
则f（x）=（x-1）+（x-2）+…+3+2+1+0+1+2+…+（20-x）
=$\frac{（x-1）[1+（x-1）]}{2}$+$\frac{（20-x）[1+（20-x）]}{2}$
=$\frac{1}{2}$（2x2-42x+420）=x2-21x+210=（x-$\frac{21}{2}$）2+$\frac{399}{4}$．
因为x∈N+，所以当x=10或11时，f（x）取最小值，
f（10）=f（11）=100，即最小值是100．
点评 本题主要考查函数的最值求法，注意运用等差数列的求和公式和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
是偶函数，
为实常数．
的值；
时，是否存在
，使得函数
在区间
上的函数值组成的集合也是
，若存在，求出
，
的值；否则，说明理由．
，则
的真子集可以是（ ）
B．
C．
D．
1．已知点F（c，0）分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点和上顶点，点B为直线l“x=$\frac{{a}^{2}}{c}$”上的一动点，且△ABF的外接圆面积最小值是4π，则当椭圆的短轴最长时，椭圆的离心率为（ ）
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C． | $\frac{2}{3}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
15．已知ξ的分布列如下：
并且η=3ξ+2，则方差Dη=（ ）
| ξ | 0 | 1 | 2 |
| P | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{6}$ |
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{2}{3}$ | C． | $\frac{5}{9}$ | D． | 5 |