Question

已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.
(1)证明：nⁱA＜mⁱA；(2)证明：(1+m)ⁿ＞(1+n)^m

Answer 1

证明见解析

证明：(1)对于1＜i≤m，且A =m·…·(m－i+1)，
，
由于m＜n，对于整数k=1，2，…，i－1，有，
所以
(2)由二项式定理有：
(1+m)ⁿ=1+Cm+Cm²+…+Cmⁿ，
(1+n)^m=1+Cn+Cn²+…+Cn^m，
由(1)知mⁱA＞nⁱA (1＜i≤m＜n ，而C=
∴mⁱCⁱ_n＞nⁱCⁱ_m(1＜m＜n
∴m⁰C=n⁰C=1，mC=nC=m·n，m²C＞n²C，…，
m^mC＞n^mC，m^m+1C＞0，…，mⁿC＞0，
∴1+Cm+Cm²+…+Cmⁿ＞1+Cn+C²_mn²+…+Cn^m，
即(1+m)ⁿ＞(1+n)^m成立.