题目内容
设抛物线y2=2px(p＞0)被直线y=2x-4截得的弦AB长为3| 5 |
（1）求此抛物线的方程；
（2）设直线AB上有一点Q，使得A，Q，B三点到抛物线准线的距离成等差数列，求Q点坐标；
（3）在抛物线上求一点M，使M到Q点距离与M到焦点的距离之和最小．
分析：（1）联立方程组，得
，整理得：2x2-（8+p）x+8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=
，x1x2=4，
由弦长AB=
=3
，能导出此抛物线的方程．
（2）设Q（x，y），由A，Q，B三点到抛物线准线的距离成等差数列，知x=
=
=
，由此能求出Q点坐标．
（3）由M到Q点距离与M到焦点的距离之和最小值是Q到准线的距离，知M点的纵坐标是y=1，由此能求出点M．
|
| 8+p |
| 2 |
由弦长AB=
(1+4)[(
|
| 5 |
（2）设Q（x，y），由A，Q，B三点到抛物线准线的距离成等差数列，知x=
| x1+y1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 5 |
| 2 |
（3）由M到Q点距离与M到焦点的距离之和最小值是Q到准线的距离，知M点的纵坐标是y=1，由此能求出点M．
解答：解：（1）联立方程组，得
，整理得：2x2-（8+p）x+8=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=
，x1x2=4，
∴弦长AB=
=3
，
解得p=2或-18（舍），
所以此抛物线的方程：y2=4x．
（2）设Q（x，y），
∵A，Q，B三点到抛物线准线的距离成等差数列，
∴x=
=
=
，
∴y=2×
-4=1，
∴Q(
，1)．
（3）∵M到Q点距离与M到焦点的距离之和最小值是Q到准线的距离，
∴M点的纵坐标是y=1，
把y=1代入y2=4x，得x=
，
∴M(
，1)．
|
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=
| 8+p |
| 2 |
∴弦长AB=
(1+4)[(
|
| 5 |
解得p=2或-18（舍），
所以此抛物线的方程：y2=4x．
（2）设Q（x，y），
∵A，Q，B三点到抛物线准线的距离成等差数列，
∴x=
| x1+y1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴y=2×
| 5 |
| 2 |
∴Q(
| 5 |
| 2 |
（3）∵M到Q点距离与M到焦点的距离之和最小值是Q到准线的距离，
∴M点的纵坐标是y=1，
把y=1代入y2=4x，得x=
| 1 |
| 4 |
∴M(
| 1 |
| 4 |
点评：本题考查抛物线方程和点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意等差数列和抛物线性质的灵活运用．
练习册系列答案
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