Question

7．已知函数f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$         
（1 ） 写出f（x）的单调递增区间；
（2）若函数在区间（a，a+$\frac{1}{2}$）（其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；
（3）求证：当x≥1时，不等式f（x）＞$\frac{2sinx}{x+1}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）先求f（x）的定义域，再求导f′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，从而由导数求函数的单调性；
（2）由（1）知，a＜1＜a+$\frac{1}{2}$，从而解得；
（3）令g（x）=$\frac{1+lnx}{x}$-$\frac{2}{x+1}$=$\frac{（x+1）（1+lnx）-2x}{x（x+1）}$，从而可证明$\frac{1+lnx}{x}$≥$\frac{2}{x+1}$，（当且仅当x=1时，等号成立）；再由$\frac{2sinx}{x+1}$≤$\frac{2}{x+1}$，（当且仅当sinx=1时，等号成立）；从而证明．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1-1-lnx}{{x}^{2}}$=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0；
故f（x）的单调增区间为（0，1）；
（2）∵函数f（x）在区间（a，a+$\frac{1}{2}$）（其中a＞0）上存在极值，
∴a＜1＜a+$\frac{1}{2}$，
解得，$\frac{1}{2}$＜a＜1；
（3）证明：令g（x）=$\frac{1+lnx}{x}$-$\frac{2}{x+1}$=$\frac{（x+1）（1+lnx）-2x}{x（x+1）}$，
令h（x）=（x+1）（lnx+1）-2x，
h′（x）=lnx+1+$\frac{1}{x}$+1-2=lnx+$\frac{1}{x}$＞0；
故h（x）在[1，+∞）上是增函数，
故g（x）≥g（1）=0；
故$\frac{1+lnx}{x}$≥$\frac{2}{x+1}$，（当且仅当x=1时，等号成立）；
又∵$\frac{2sinx}{x+1}$≤$\frac{2}{x+1}$，（当且仅当sinx=1时，等号成立）；
∴在x=1时，等号不能同时成立；
故当x≥1时，不等式f（x）＞$\frac{2sinx}{x+1}$恒成立．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的应用，同时考查了不等式的化简与应用．