Question

19．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为f（x）的上界．已知函数f（x）=x²-4mx+2m+6，g（x）=f（log₃x）．
（1）若m=1，判断函数g（x）在区间（0，3]上是否为有界函数？若是，写出它的一个上界M的值，若不是，说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，3]上是以10为上界的有界函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得当m=1时g（x）=（log₃x-2）²+4，当x∈（0，3]时g（x）∈[5，+∞），不是有界函数；
（2）问题等价于f（x）_min≥-10且f（x）_max≤10，分别由二次函数的最值可得m的不等式组，解不等式组综合可得．

解答 解：（1）由题意可得当m=1时，g（x）=（log₃x）²-4log₃x+8=（log₃x-2）²+4，
当x∈（0，3]时，log₃x∈（-∞，1]，由二次函数可得g（x）∈[5，+∞），
故不存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M成立，即g（x）不是有界函数；
（2）由题意可得当x∈[0，3]时，|f（x）|≤10恒成立，
等价于f（x）_min≥-10且f（x）_max≤10，
由二次函数的知识可得f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{2m+6，m≤0}\\{2m-4{m}^{2}+6，0＜m＜\frac{3}{2}}\\{15-10m，m≥\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
由f（x）_min≥-10可解得-8≤m≤$\frac{5}{2}$；①
同理可得f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{15-10m，m≤\frac{3}{4}}\\{2m+6，m＞\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
由f（x）_max≤10可解得$\frac{1}{2}$≤m≤2；②
综合①②可得$\frac{1}{2}$≤m≤2．

点评 本题考查函数的综合应用，涉及恒成立以及分类讨论的思想和不等式的解法，属中档题．