题目内容
4.下列命题中正确的序号是②③①平面向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°,$\overrightarrow{a}$=(2,0),|$\overrightarrow{b}$|=1,则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为$\sqrt{3}$.
②有一底面积半径为1,高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面的圆心,在这个圆柱内随机抽取一点P,则点P到O点的距离大于1的概率为$\frac{2}{3}$.
③命题:“?x∈(0,+∞),不等式cosx>1-$\frac{1}{2}$x2恒成立”是真命题.
④在约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{y≤2}\\{x+y≥1}\end{array}\right.$下,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为6,则$\frac{ab}{2a+b}$的最大值等于$\frac{2}{3}$.
分析 ①根据投影公式代入求出即可判断;②根据球和圆柱的体积公式求出即可;③构造函数,求出函数的导数,得到函数的单调性,从而得到结论;④画出平面区域,结合基本不等式的性质从而求出代数式的最大值.
解答 解:①则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为:|$\overrightarrow{a}$|cos60°=2×$\frac{1}{2}$=1,故①错误;
②∵到点O的距离等于1的点构成一个球面,如图,
,
则点P到点O的距离大于1的概率为:
P=$\frac{半球外的体积}{圆柱的体积}$=$\frac{圆柱的体积-半球的体积}{圆柱的体积}$=$\frac{2π-\frac{2π}{3}}{2π}$=$\frac{2}{3}$,
故②正确;
③构造函数h(x)=cosx-1+$\frac{1}{2}$x2,h′(x)=-sinx+x,h″(x)=-cosx+1≥0,∴h′(x)在(0,+∞)上单调增
∴h′(x)>h′(0)=0,∴函数h(x)在(0,+∞)上单调增,∴h(x)>0,
∴cosx>1-$\frac{1}{2}$x2,即不等式恒成立,
故③正确;
④:约束条件对应的平面区域如图
3个顶点是(1,0),(1,2),(-1,2),
由图易得目标函数在(1,2)取最大值6,
此时a+2b=6,
∵a>0,b>0,∴由不等式知识可得:a+2b=6≥2$\sqrt{a•2b}$,
∴ab≤$\frac{9}{2}$,当且仅当:a=2b即:a=3,b=$\frac{3}{2}$时“=”成立,
要求$\frac{ab}{2a+b}$的最大值转化为求$\frac{2a+b}{ab}$的最小值即可,
而$\frac{2a+b}{ab}$=$\frac{2}{b}$+$\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{\frac{2}{b}•\frac{1}{a}}$=2$\sqrt{\frac{2}{ab}}$≥2$\sqrt{\frac{2}{\frac{9}{2}}}$=$\frac{4}{3}$,
∴$\frac{ab}{2a+b}$的最大值等于$\frac{4}{3}$,
故④错误,
故答案为:②③.
点评 本题考查了向量的运算,考查概率问题,考查函数恒成立问题,基本不等式性质的应用以及线性规划问题,是一道综合题.
A. | A>B | B. | A≥B | C. | A<B | D. | A≤B |
A. | i<6 | B. | i<8 | C. | i>48 | D. | i<48 |
A. | $-\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | D. | $-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ |
A. | $\frac{3}{4}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | -$\frac{1}{2}$ |