Question

16．若AB是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞c）垂直于x轴的动弦，F为焦点，当AB经过焦点F时|AB|=3，当AB最长时，∠AFB=120°．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知N（4，0），连接AN与椭圆相交于点M，证明直线BM恒过x轴定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2{b}^{2}}{a}=3}\\{\frac{b}{a}=sin60°}\end{array}\right.$计算即得结论；
（Ⅱ）通过设BM直线方程并与椭圆方程联立，利用A、N、M三点共线，通过韦达定理代入计算、整理即得结论．

解答 （Ⅰ）解：由题可知$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2{b}^{2}}{a}=3}\\{\frac{b}{a}=sin60°}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）证明：设B（x₁，y₁），M（x₂，y₂），定点（x₀，0），
则A（x₁，-y₁），BM直线方程为：y=k（x-x₀），
联立BM与椭圆C的方程，消去y得：
（3+4k²）²x²-8k²x₀x+4k²${{x}_{0}}^{2}$-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}{x}_{0}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}{{x}_{0}}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{AN}$=（4-x₁，y₁），$\overrightarrow{MN}$=（4-x₂，-y₂），
∵A、N、M三点共线，
∴y₂（4-x₁）+y₁（4-x₂）=0，
∴4（y₁+y₂）-x₁y₂-x₂y₁=0，
∴4k（x₁+x₂-2x₀）-2kx₁x₂+kx₀（x₁+x₂）=0，
∴4（$\frac{8{k}^{2}{x}_{0}}{3+4{k}^{2}}$-2x₀）-2$\frac{4{k}^{2}{{x}_{0}}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+x₀$\frac{8{k}^{2}{x}_{0}}{3+4{k}^{2}}$=0，
整理得：32k²-32k²x₀-8k²${{x}_{0}}^{2}$+8k²x₀=0，
即（1-x₀）（x₀+4）=0，
解得：x₀=1或x₀=-4（舍），
∴直线BM恒过x轴定点（1，0）．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查椭圆方程，考查直线过定点问题，注意解题方法的积累，属于中档题．