Question

15．把正奇数数列{2n-1}中的数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表：
设a_mn（m，n∈N^*）是位于这个三角形数表中从上往下数第m行、从左往右数第n个数．
（1）求a₇₃；
（2）若a_mn=2011，求m，n的值；
（3）已知函数$f（x）=\frac{{\root{3}{x}}}{2^n}（x＞0）$，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为b_n，求数列{f（b_n）}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用前t-1行共有数的个数为1+2+…+（t-1）可确定每行第1个数的值，通过每行数构成公差为2的等差数列，进而计算即得结论；
（2）通过每行第1个数的值可确定m=45，进而利用等差数列的知识计算即得结论；
（3）通过（1）可知第n行第1个数为n²-n+1、最后一个数为n²+n-1，进而f（b_n）=n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）根据题意可知：前t-1行共有1+2+…+（t-1）=$\frac{t（t-1）}{2}$个数，
∴第t行第1个数为1+2•[$\frac{t（t-1）}{2}$-1]+2=t²-t+1，
∴a₇₃=（7²-7+1）+2•2=47；
（2）由（1）可知：第45行第1个数为：45²-45+1=1981，
第46行第1个数为：46²-46+1=2071，
又∵a_mn=2011，
∴m=45，
∴1981+2（n-1）=2011，解得：n=16，
综上，当a_mn=2011时，m=45、n=16；
（3）由（1）可知：第n行第1个数为n²-n+1，
最后一个数为：n²-n+1+2（n-1）=n²+n-1，
∴b_n=$\frac{n}{2}•$[（n²-n+1）+（n²+n-1）]=n³，
∵函数$f（x）=\frac{{\root{3}{x}}}{2^n}（x＞0）$，
∴f（b_n）=$\frac{\root{3}{{n}^{3}}}{{2}^{n}}$=n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴S_n=1•$\frac{1}{{2}^{1}}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$S_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=1-（1+$\frac{n}{2}$）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴S_n=2-（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题是一道关于数列的应用题，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．