Question

8．已知方程x²+y²+x-6y+m=0
（1）若此方程表示的曲线是圆C，求m的取值范围；
（2）若（1）中的圆C与直线x+2y-3=0相交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为原点），求圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）把方程x²+y²+x-6y+m=0化为圆的标准方程为（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-3）²=$\frac{37}{4}$-m，故有$\frac{37}{4}$-m＞0，由此解得m的范围．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．OP⊥OQ，故 x₁•x₂+y₁•y₂=0 ①，把直线x+2y-3=0代入圆的方程化简，利用根与系数的关系可得y₁+y₂=4，y₁•y₂=$\frac{12+m}{5}$，代入①求得m的值，即可得到圆C的方程．

解答 解：（1）方程x²+y²+x-6y+m=0即（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-3）²=$\frac{37}{4}$-m，
∵方程表示的曲线是圆C，
∴$\frac{37}{4}$-m＞0，解得m＜$\frac{37}{4}$．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．∵OP⊥OQ，故 x₁•x₂+y₁•y₂=0  ①．
直线x+2y-3=0与圆C联立得5y²-20y+12+m=0，∴y₁+y₂=4，y₁•y₂=$\frac{12+m}{5}$．
∴x₁•x₂=（3-2y₁）（3-2y₂）=9-6（y₁+y₂）+4y₁•y₂．
代入①可得5y₁•y₂-6（y₁+y₂）+9=0，解得m=3，满足△＞0．
圆C的方程为：（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-3）²=$\frac{25}{4}$．

点评 本题主要考查二元二次方程表示圆的条件，圆的标准方程，直线和圆的位置关系以及弦长公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．