Question

16．已知tanx=2，
（1）求2sin²x+cos²x的值；
（2）若π＜x＜$\frac{3π}{2}$，求cosx-sinx的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得2sin²x+cos²x=$\frac{{2tan}^{2}x+1}{{tan}^{2}x+1}$ 的值．
（2）由题意可得sinx＜0，cosx＜0．又 sinx=2cosx，sin²x+cos²x=1，由此求得sinx、cosx的值，可得cosx-sinx 的值．

解答 解：（1）∵tanx=2，∴2sin²x+cos²x=$\frac{{2sin}^{2}x{+cos}^{2}x}{{sin}^{2}x{+cos}^{2}x}$=$\frac{{2tan}^{2}x+1}{{tan}^{2}x+1}$=$\frac{2×4+1}{4+1}$=$\frac{9}{5}$．    
 （2）∵π＜x＜$\frac{3π}{2}$，∴sinx＜0，cosx＜0．
又 sinx=2cosx，sin²x+cos²x=1，
∴sinx=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosx=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴cosx-sinx=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．