Question

【题目】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2x，g（x）=2log2（2x+a），a∈R
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对任意x∈[1，4]，f（4x）≤g（x），求实数a的取值范围；
（3）设a＞﹣2，求函数h（x）=g（x）﹣f（x），x∈[1，2]的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：若x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=log2（﹣x），

∵f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x），

又f（0）=0，

∴f（x）=

（2）解：由f（4x）≤g（x）得log2（4x）≤2log2（2x+a），

∴（2x+a）2≥4x，

∵2x+a＞0，x＞0，

即2x+a≥2 ，∴a≥2 ﹣2x，

设 =t，则t∈[1，2]，令p（t）=2t﹣2t2，

则p（t）在[1，2]上单调递减，

∴﹣4≤p（t）≤0．

∴a≥0．

（3）解：h（x）=g（x）﹣f（x）=2log2（2x+a）﹣log2x=log2 ，

令q（x）= =4x+ +4a，

令q′（x）=0得x= ，

①若 ≤1即﹣2＜a≤2时，q（x）在[1，2]上单调递增，

∴q（x）的最小值为q（1）=a2+4a+4=（a+2）2，

∴h（x）的最小值为log2（a+2）2=2log2（a+2）；

②若 ≥2即a≥4时，q（x）在[1，2]上单调递减，

∴q（x）的最小值为q（2）=8+ +4a= （a+4）2，

∴h（x）的最小值为log2[ （a+4）2]=﹣1+2log2（a+4）；

③若1＜ ＜2即2＜a＜4时，q（x）在[1，2]上先减后增，

∴q（x）的最小值为q（ ）=8a，

∴h（x）的最小值为log2（8a）=3+log2a．

综上：当﹣2＜a≤2时，h（x）的最小值为2log2（a+2）；

当2＜a＜4时，h（x）的最小值为3+log2a；

当a≥4时，h（x）的最小值为﹣1+2log2（a+4）

【解析】（1）利用奇函数的性质求出f（x）在（﹣∞，0）上的解析式，再结合f（0）=0得出f（x）在定义域上的解析式；（2）分离参数可得a≥2 ﹣2x，利用换元法求出右侧函数的最大值即可得出a的范围；（3）讨论a的范围，判断h（x）的单调性，从而可得h（x）的最小值．
【考点精析】本题主要考查了函数奇偶性的性质的相关知识点，需要掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能正确解答此题．