Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣2ax+2b
（1）若a，b都是从0，1，2，3四个数中任意取的一个数，求函数f（x）有零点的概率；
（2）若a，b都是从区间[0，3]中任取的一个数，求f（1）＜0成立时的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知本题是一个古典概型，

试验发生包含的事件a，b都从0，1，2，3四个数中任取的一个数的

基本事件总数为N=4×4=16个，

函数有零点的条件为△，4a2﹣8b≥0，即a2≥2

∵事件“a2≥2b”包含：（0，0），（2，0）

（2，1），（2，2）（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）共有7个

∴事件“a2≥2b”的概率为p=

（2）解：f（1）=1﹣2a+2b＜0，∴a﹣b＞

则a，b都是从区间[0，3]任取的一个数，有f（1）＜0，

即满足条件：

转化为几何概率如图所示，阴影部分面积为

∴事件“f（1）＜0”的概率为p= ．

【解析】（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件a，b都从0，1，2，3四个数中任取的一个数的基本事件总数为5×5个，函数有零点的条件为△=a2﹣4b≥0，即a2≥4b，列举出所有事件的结果数，得到概率．（2）由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件可以写出a，b满足的条件，满足条件的事件也可以写出，画出图形，做出两个事件对应的图形的面积，得到比值
【考点精析】利用几何概型和二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．